Кантор, Георг
Источник:  |
||||||||
|
||||||||
| Гео́рг Ка́нтор | |
| Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor | |
 |
|
| Род деятельности: |
математик |
|---|---|
| Дата рождения: |
3 марта 1845 |
| Место рождения: | |
| Гражданство: | |
| Дата смерти: |
6 января 1918 (72 года) |
| Место смерти: |
Галле, Германия |
Кантор, Георг (Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp; 1845, Петербург, – 1918, Галле, Германия), немецкий математик и мыслитель.
Содержание |
Биографические сведения
Родители Кантора были датчанами. Его артистичная мать, католичка, происходила из семьи музыкантов, а отец, протестант, был зажиточным купцом. Когда его отец заболел в 1856 году, семья переехала во Франкфурт. Математические способности Кантора проявились еще до его 15-летия, когда он учился в частных школах и гимназиях сначала в Дармштадте, а затем в Висбадене; в конце концов он преодолел возражения своего отца, который хотел, чтобы он стал инженером.
Окончил гимназию в Берлине. После непродолжительного обучения в Цюрихском университете Кантор в 1863 году перешел в Берлинский университет, чтобы специализироваться в области физики, философии и математики. Там его обучал математик Карл Вейерштрасс, чья специализация анализа, вероятно, оказала на него наибольшее влияние; Эрнст Эдуард Куммер по высшей арифметике; и Леопольд Кронекер, специалист по теории чисел, который позже выступил против него.
После одного семестра в Геттингенском университете в 1866 году Кантор написал в 1867 году докторскую диссертацию «De Aequationibus Secundi Gradus Indeterminatis» («О неопределенных уравнениях второй степени») по вопросу, который Карл Фридрих Гаусс оставил нерешенным в своих «Disquisitiones Arithmeticae» (1801 г.).
После непродолжительного преподавания в берлинской школе для девочек Кантор поступил на факультет Галлеского университета, где оставался до конца своей жизни, сначала в качестве лектора (оплачиваемого только из платы студентов за лекции) в 1869 году, затем доцента в 1872 году и полного профессора в 1879 году.
Научная деятельность Кантора прервалась в 1897 г. из-за тяжелой болезни.
Вклад в математическую науку
Кантор — создатель теории множеств и теории трансфинитных чисел. В 1874 г. он установил существование неэквивалентных, то есть имеющих разные мощности бесконечных множеств, в 1878 г. ввел общее понятие мощности множеств (в предложенном им и принятом в математике обозначении мощностей множеств буквами еврейского алфавита, возможно, сказалось его еврейское — по отцу — происхождение). В главном труде «О бесконечных линейных точечных образованиях» (1879–84) Кантор систематически изложил учение о множествах и завершил его построением примера совершенного множества (так называемое множество Кантора).
Теория множеств
В серии из 10 статей с 1869 по 1873 год Кантор сначала занимался теорией чисел; эта статья отразила его собственное увлечение предметом, его исследования Гаусса и влияние Кронекера. По предложению Генриха Эдуарда Гейне, коллеги из Галле, признавшего его способности, Кантор затем обратился к теории тригонометрических рядов, в которой он расширил понятие действительных чисел.
Начиная с работы немецкого математика Бернхарда Римана о тригонометрических рядах и функциях комплексной переменной в 1854 г., Кантор в 1870 г. показал, что такая функция может быть представлена только одним способом в виде тригонометрического ряда. Рассмотрение набора чисел (точек), которые не противоречили бы такому представлению, привело его сначала, в 1872 году, к определению иррациональных чисел в терминах сходящихся последовательностей рациональных чисел (частных целых чисел), а затем к началу его основной работы. теория множеств и понятие трансфинитных чисел.
Важный обмен письмами с Ричардом Дедекиндом, математиком из Технического института Брансуика, который был его другом и коллегой на протяжении всей жизни, положил начало идеям Кантора о теории множеств. Оба согласились, что множество, конечное или бесконечное, представляет собой набор объектов (например, целых чисел, {0, ±1, ±2,…}), которые имеют определенное свойство, в то время как каждый объект сохраняет свою индивидуальность.
Но когда Кантор применил метод однозначного соответствия (например, {a, b, c} к {1, 2, 3}) для изучения характеристик множеств, он быстро увидел, что они различаются по степени соответствия их членов даже среди бесконечных множеств. (Набор бесконечен, если одна из его частей или подмножеств имеет столько же объектов, сколько оно само.) Его метод вскоре дал удивительные результаты.
В 1873 году Кантор продемонстрировал, что рациональные числа, хотя и бесконечны, являются счетными (или исчисляемыми), потому что их можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами (то есть целыми числами, такими как 1, 2, 3,…). Он показал, что множество (или совокупность) действительных чисел (состоящих из иррациональных и рациональных чисел) бесконечно и несчетно.
Еще более парадоксальным образом он доказал, что множество всех алгебраических чисел содержит столько же компонентов, сколько множество всех целых чисел, и что трансцендентные числа (те, которые не являются алгебраическими, как π), являющиеся подмножеством иррациональных, несчетны и следовательно, более многочисленны, чем целые числа, которые следует рассматривать как бесконечные.
Но статья Кантора, в которой он впервые изложил эти результаты, была отклонена для публикации в Crelle’s Journal одним из ее рецензентов, Кронекером, который с тех пор яростно выступал против его работы. Однако после вмешательства Дедекинда она была опубликована в 1874 г. под названием «Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen Alexandriaischen Zahlen» («Об одном характеристическом свойстве всех действительных алгебраических чисел»).
Во время медового месяца в том же году со своей невестой Валли Гуттман в Интерлакене, Швейцария, Кантор встретил Дедекинда, который сочувственно выслушал его новую теорию. Зарплата Кантора была низкой, но состояние его отца, умершего в 1863 году, позволило ему построить дом для жены и пятерых детей. Многие из его статей были опубликованы в Швеции в новом журнале Acta Mathematica, который редактировал и основал Гёста Миттаг-Леффлер, один из первых, кто признал его способности.
Теория Кантора стала совершенно новым предметом исследования математики бесконечного (например, бесконечных рядов, таких как 1, 2, 3,… и даже более сложных множеств), и его теория сильно зависела от устройства одного корреспонденция между собой. Разрабатывая таким образом новые способы постановки вопросов о непрерывности и бесконечности, Кантор быстро стал спорным.
Когда он утверждал, что бесконечные числа действительно существуют, он опирался на древнюю и средневековую философию относительно «актуальной» и «потенциальной» бесконечности, а также на раннее религиозное воспитание, данное ему его родителями. В своей книге о множествах Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltig keitslehre («Основы общей теории агрегатов»), Кантор в 1883 году связал свою теорию с платоновской метафизикой. Напротив, Кронекер, считавший, что «существуют» только целые числа («Бог создал целые числа, а все остальное — дело рук человека»), в течение многих лет горячо отвергал его рассуждения и блокировал его назначение на факультет университета в Берлине.
Хотя психическое заболевание, начавшееся примерно в 1884 году, поразило последние годы его жизни, Кантор продолжал активно работать. В 1897 году он помог созвать в Цюрихе первый международный математический конгресс. Отчасти из-за того, что ему противостоял Кронекер, он часто сочувствовал молодым, честолюбивым математикам и стремился найти способы гарантировать, что они не будут страдать, как он, из-за укоренившихся преподавателей, которые чувствовали угрозу со стороны новых идей.
На рубеже веков его работа была полностью признана фундаментальной для развития теории функций, анализа и топологии. Более того, его работа стимулировала дальнейшее развитие как интуиционистской, так и формалистической школ мысли в области логических оснований математики; она существенно изменила математическое образование в Соединенных Штатах и часто ассоциируется с «новой математикой».
Признание пришло к Кантору лишь к концу творческого периода его жизни. В 1890 г. он был избран первым президентом Математического общества Германии.
В русском переводе ряд статей Кантора вошли в сборник «Новые идеи в математике», №6, СПб., 1914.
Бесконечные числа
В 1895–1897 годах Кантор полностью изложил свой взгляд на непрерывность и бесконечность, включая бесконечные ординалы и кардиналы, в своей самой известной работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (опубликованной на английском языке под названием Contributions to the Founding of The Theory of Transfinite Numbers, 1915). Эта работа содержит его концепцию трансфинитных чисел, к которой его привела демонстрация того, что бесконечное множество может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с одним из его подмножеств.
Под наименьшим трансфинитным количественным числом он подразумевал кардинальное число любого множества, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с целыми положительными числами. Это трансфинитное число он назвал алеф-нулем. Большие трансфинитные количественные числа обозначались алеф-один, алеф-два,….
Затем он разработал арифметику трансфинитных чисел, аналогичную конечной арифметике. Таким образом, он еще больше обогатил понятие бесконечности. Противостояние, с которым он столкнулся, и время, прошедшее до того, как его идеи были полностью усвоены, отчасти отражают трудности математиков в переоценке древнего вопроса: «Что такое число?»
Кантор показал, что множество точек на прямой имеет более высокое кардинальное число, чем нулевой алеф. Это привело к знаменитой проблеме континуум-гипотезы, а именно к тому, что между нулевым алефом и количественным числом точек на линии нет количественных чисел. Эта проблема представляла большой интерес для математического мира и изучалась многими последующими математиками, в том числе чехо-австрийско-американским учёным Куртом Гёделем и американцем Полом Коэном.
Влияние работ Кантора
В начале 20 в. на основе теории множеств была построена вся математика и возник ряд новых научных дисциплин — топология, абстрактная алгебра, теория функций действительного переменного, функциональный анализ и другие.
Теория множеств открыла новую страницу также в исследованиях оснований математики — работы Кантора позволили впервые отчетливо сформулировать современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики и понятии изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями.
Важный толчок исследованиям логических оснований математики дали обнаруженные в теории множеств парадоксы, в частности, открытая Кантором проблема мощности множества всех множеств (которое неизбежно оказалось бы больше самого себя). Кантор развил также теорию действительных чисел, которая (наряду с теориями К. Вейерштрасса и Р. Дедекинда) кладется в основание построения математического анализа.
В философии математики Кантор анализировал проблему бесконечности. Различая два вида математического бесконечного — несобственное (потенциальное) и собственное (актуальное, понимаемое как завершенное целое), — Кантор, в отличие от предшественников, настаивал на законности оперирования в математике понятием актуально бесконечного. Сторонник платонизма, Кантор в математическом актуально бесконечном видел одну из форм актуально бесконечного вообще, обретающего высочайшую завершенность в абсолютном Божественном бытии.
В проблеме существования в математике Кантор различал интрасубъективную, или имманентную (то есть внутреннюю логическую непротиворечивость), и транссубъективную, или транзистентную (то есть соответствие процессам внешнего мира), реальность математических объектов. В противовес Л. Кронекеру, отвергавшему все не связанные с построением или вычислением способы введения новых математических объектов, Кантор допускал конструирование любых логически непротиворечивых абстрактных математических систем. Плодотворность этого подхода была подтверждена развитием математики в 20 в.
Труды
- Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
- Кантор Г. Труды по теории множеств. М., Наука, 1985.
Литература
- Пуркет В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор. Харьков. 1991.
- Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
Источники
- КЕЭ, том: 4. Кол.: 79–80.
- Georg Cantor German mathematician - Encyclopaedia Britannica
- Уведомление: Предварительной основой данной статьи была статья КАНТОР Георг в ЭЕЭ
